Mucho antes del cálculo infinitesimal de Newton y Leibniz, existían métodos geométricos para el cálculo de rectas tangentes a curvas. Un ejemplo clásico de estos métodos es la curva Concoide.

La Concoide de Nicómedes es una curva que data del año 200 a.C. Se construye como lugar geométrico a partir de dos parámetros, a y b. Sea G el origen del plano; para cualquier rayo que pasa por G, la distancia entre un punto A de la Concoide y el punto F sobre una línea horizontal de altura a, es una constante de longitud b.

En esta construcción, mueve el punto F sobre la línea horizontal. Las longitudes a y b se mantienen constantes. El rastro del punto A representa el lugar geométrico de la Concoide.

Una vez dibujada la Concoide, sigue las indicaciones que aparecen después de la construcción y contesta a las cuestiones planteadas, para realizar, paso a paso, el cálculo geométrico de la recta tangente a la Concoide en el punto A.

Indicaciones y cuestiones

1. Utiliza los deslizadores a y b para modificar los valores de los parámetros de la concoide. Vuelve a mover el punto F sobre la recta horizontal y representa unas cuantas concoides de la familia.

2. Describe de forma genérica como son estas curvas, es decir, lo que tienen en común. ¿Tienen algún máximo o mínimo? ¿Tienen asintotas?

3. En el punto F intersectan dos rectas: la recta horizontal r (de color negro) y el segmento GA (de colores verde y rosa). ¿Como son los ángulos LFG y AFB formados a ambos lados del punto F? Por lo tanto, ¿Como son los ángulos LGF y FAB?

4. Pulsa sobre la primera casilla de control para representar la primera pareja de triángulos. Observa los triángulos y piensa en la respuesta que has dado en el punto anterior. ¿Como son los triángulos de color verde y de color rosa?

5. Pulsa sobre la segunda casilla de control. Verás que el applet representa dos ángulos. Esos ángulos son los complementarios de los ángulos LFG y AFB. Atendiendo a las respuestas de los apartados 3 y 4, ¿como son estos ángulos representados?

6. Oculta la primera pareja de triángulos. Pulsa sobre la tercera casilla de control para representar la segunda pareja de triángulos. Atendiendo a la información recopilada en los puntos 3, 4 y 5, ¿Como son esta segunda pareja de triángulos? Justifica la respuesta.

7. Pulsa sobre la cuarta casilla de control. El applet representa con una línea roja discontinua el segmento que une los puntos F y M. Si estubieramos trabajando sobre papel, y tubieramos a mano la escuadra y el cartabón, podriamos trazar una recta paralela a este segmento que pase por el punto A. En el applet, se tiene que efectivamente esa es la recta tangente a la concoide en el punto A. De esta manera termina el cálculo geométrico de la recta tangente a un punto de la concoide.